Verfügbarkeit: Numerische Behandlung partieller Differentialgleichungen

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Bibliographische Detailangaben
Titel:	Numerische Behandlung partieller Differentialgleichungen
Von:	Christian Großmann, Hans Görg Roos
Person:	Großmann, Christian 1946- Verfasser aut Roos, Hans-Görg 1949-
Vorheriger Titel:	Großmann, Christian Numerik partieller Differentialgleichungen
Hauptverfassende:	Großmann, Christian 1946- (VerfasserIn), Roos, Hans-Görg 1949- (VerfasserIn)
Format:	Buch
Sprache:	Deutsch
Veröffentlicht:	Wiesbaden Teubner 2005
Ausgabe:	3., völlig überarbeitete und erweiterte Auflage
Schriftenreihe:	Teubner Studienbücher Mathematik
Schlagworte:	Numerisches Verfahren Partielle Differentialgleichung
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adam_text	Inhaltsverzeichnis Vorwort 5 Notation 1 Grundbegriffe 13 1.1 Klassifikation und Korrektheit......................... 13 1.2 Fouriersche Methode, Integraltransformationen............... 17 1.3 Maximumprinzip, Fundamentallösung.................... 20 1.3.1 Elliptische Randwertaufgaben..................... 20 1.3.2 Parabolische Aufgaben und Anfangs-Randwertaufgaben...... 26 1.3.3 Hyperbolische Anfangs- und Anfangs-Randwertaufgaben...... 29 2 Differenzenverfahren 33 2.1 Grundkonzepte................................. 33 2.2 Einführende Beispiele ............................. 40 2.3 Transportprobleme und Erhaltungsgleichungen............... 45 2.3.1 Der eindimensionale lineare Fall ................... 46 2.3.2 Eigenschaften nichtlinearer Erhaltungsgleichungen......... 56 2.3.3 Differenzenverfahren für nichtlineare Erhaltungsgleichungen .... 61 2.4 Elliptische Randwertaufgaben.........................69 2.4.1 Elliptische Randwertaufgaben..................... 69 2.4.2 Der klassische Zugang zu Differenzenverfahren ........... 70 2.4.3 Diskrete Greensche Funktionen.................... 80 2.4.4 Differenzensterne und Diskretisierung in allgemeineren Gebieten . 82 2.4.5 Gemischte Ableitungen, Operatoren vierter Ordnung und Rand¬ bedingungen 2. und 3. Art....................... 88 2.4.6 Lokale Gitteranpassung........................ 93 2.5 Differenzenverfahren und 2.6 Parabolische Anfangs-Randwert-Probleme..................107 2.6.1 Räumlich eindimensionale Aufgaben.................107 2.6.2 Räumlich mehrdimensionale Aufgaben................112 2.6.3 Semidiskretisierungen.........................116 2.7 Hyperbolische Probleme 2. Ordnung.....................120 INHALTSVERZEICHNIS Schwache Lösungen 127 3.1 Einführung...................................127 3.2 Angepaßte Funktionenräume .........................130 3.3 Variationsgleichungen und konforme Approximation............144 3.4 Abschwächungen der F-Elliptizität......................165 3.5 Nichtlineare Probleme.............................169 Methode der finiten Elemente 175 4.1 Ein Beispiel...................................175 4.2 Finite-Elemente-Räume............................180 4.2.1 Lokale Elemente und globale Eigenschaften.............180 4.2.2 Einige wichtige Finite-Elemente-Ansätze im R2 und R3 ......190 4.3 Zur Realisierung der Finite-Elemente-Methode ...............203 4.3.1 Struktur der Teilaufgaben.......................203 4.3.2 Beschreibung der Ausgangsaufgabe..................205 4.3.3 Erzeugung der endlichdimensionalen Probleme...........207 4.3.4 Gittergenerierung und Gitterveränderung..............212 4.4 Konvergenz konformer Methoden.......................218 4.4.1 Basisaussagen zur Interpolation in Sobolev-Räumen........218 4.4.2 Hilbert-Raum-Fehlerabschätzungen..................228 4.4.3 4.5 Nichtkonforme Finite-Elemente-Methoden..................239 4.5.1 Einführung...............................239 4.5.2 Ansatzräume mit geringerer Glattheit................241 4.5.3 Näherungsweise Integration......................245 4.5.4 Die 4.5.5 Approximation krummliniger Ränder.................254 4.6 Gemischte 4.6.1 Gemischte Variationsgleichungen und Sattelpunkte.........257 4.6.2 Konforme Approximation gemischter Variationsgleichungen .... 264 4.6.3 Abschwächungen von Glattheitsforderungen bei der der biharmonischen Gleichung.....................271 4.6.4 Penalty-Methoden und modifizierte Lagrange-Funktionen.....276 4.7 Fehlerschätzer und 4.7.1 Ein residualer Fehlerschätzer.....................287 4.7.2 Mittelung und zielorientierte Schätzer................290 4.8 Die diskontinuierliche Galerkin-Methode...................292 4.8.1 Die 4.8.2 Ein hyperbolisches Problem erster Ordnung.............297 4.8.3 Konvergenzanalysis für ein Konvektions-Diffusion-Problem .... 299 4.9 Hinweise zu weiteren Aspekten........................303 4.9.1 Zur Kondition der Steifigkeitsmatrix im symmetrischen Fall .... 303 4.9.2 Eigenwertprobleme...........................305 4.9.3 Superkonvergenz............................307 INHALTSVERZEICHNIS 4.9.4 5 5.1 Parabolische Aufgaben.............................313 5.1.1 Zur schwachen Formulierung.....................313 5.1.2 Semidiskretisierung mit 5.1.3 Zeitdiskretisierung mit Standardverfahren..............325 5.1.4 Zeitdiskretisierung mit der diskontinuierlichen Galerkin-Methode . 332 5.1.5 Die Rothe-Methode ..........................337 5.1.6 Fehlerkontrolle.............................342 5.2 Hyperbolische Aufgaben zweiter Ordnung..................350 5.2.1 Zur schwachen Formulierung.....................350 5.2.2 Semiskretisierung mit finiten Elementen...............353 5.2.3 Zeitdiskretisierung...........................357 5.2.4 Die Rothe-Methode bei hyperbolischen Problemen.........362 5.2.5 Bemerkungen zur Fehler 6 Singular gestörte Randwertaufgaben 367 6.1 Zweipunkt-Randwertaufgaben.........................367 6.1.1 Zum analytischen Verhalten der Lösungen..............367 6.1.2 Diskretisierung auf Standardgittern .................374 6.1.3 Grenzschichtangepaßte Gitter.....................385 6.2 Räumlich eindimensionale parabolische Probleme..............390 6.2.1 Zum analytischen Verhalten der Lösung...............390 6.2.2 Diskretisierungsverfahren.......................392 6.3 Mehrdimensionale Konvektions-Diffusions-Probleme ............396 6.3.1 Zur 6.3.2 Diskretisierung auf Standardgittern .................402 6.3.3 Grenzschichtangepaßte Gitter.....................416 6.3.4 Zu parabolischen Problemen, mehrdimensional im Raum......418 7 Variationsungleichungen, optimale Steuerung 423 7.1 Aufgabenstellung................................423 7.2 Diskretisierung von Variationsungleichungen.................434 7.3 Penalty-Methoden...............................444 7.3.1 Grundkonzept von Penalty-Methoden ................444 7.3.2 Abstimmung von Straf- und Diskretisierungsparametern......460 7.4 Optimale Steuerung partieller DGLN.....................467 7.4.1 Zur 7.4.2 Diskretisierung mittels Finite-Elemente-Methoden.........476 і 8.1 Besonderheiten der Aufgabenstellung.....................485 8.2 Direkte Verfahren................................488 8.2.1 Das Gauß-Verfahren für Bandmatrizen................488 10 INHALTSVERZEICHNIS 8.2.2 Schnelle Lösung diskreter Poisson-Gleichungen, FFT........490 8.3 Iterationsverfahren...............................496 8.3.1 Basisstruktur und Konvergenz ....................496 8.3.2 Jacobi- und Gauß-Seidel-Verfahren..................499 8.3.3 Block-Iterations-Verfahren.......................505 8.3.4 8.4 CG - Verfahren.................................515 8.4.1 Grundkonzept, Konvergenzeigenschaften...............515 8.4.2 Vorkonditionierte CG-Verfahren ...................523 8.5 Mehrgitterverfahren ..............................533 8.6 Gebietszerlegung, parallele Algorithmen...................544 Literaturverzeichnis 553 Bücher Zeitschriftenartikel..................................559 Index 566
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