Gespeichert in:
| Titel: | Analysis |
|---|---|
| Unterteilung: | 1 |
| Von: |
Wolfgang Walter
|
| Person: |
Walter, Wolfgang
1927-2010 Verfasser aut |
| Hauptverfasser: | |
| Format: | Buch |
| Sprache: | Deutsch |
| Veröffentlicht: |
Berlin [u.a.]
Springer
2004
|
| Ausgabe: | 7. Aufl. |
| Schriftenreihe: | Grundwissen Mathematik
Springer-Lehrbuch Grundwissen Mathematik ... Springer-Lehrbuch |
| Schlagworte: | |
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| Beschreibung: | Dieser Bd. erschien früher als Bd. 3 der Reihe "Grundwissen Mathematik" |
| Beschreibung: | XIV, 398 S. graph. Darst. |
| ISBN: | 3540203885 |
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| adam_text | Inhaltsverzeichnis
Α.
Grundlagen
§ 1. Reelle Zahlen................................................. 1
1.1 Mengen ................................................ 4
1.2 Funktionen.............................................. 5
1.3 Körperaxiome........................................... 6
1.4 Anordnungsaxiome....................................... 7
1.5 Obere und untere Schranken, größtes und kleinstes Element, Su-
premum und Infimum..................................... 9
1.6 Das Vollständigkeitsaxiom................................. 10
1.7 Vorzeichen und Absolutbetrag.............................. 10
1.8 Die Menge
R
............................................ 11
1.9 Intervalle und Umgebungen, offene und abgeschlossene Mengen. 12
1.10 Bemerkungen zur
Axiomatik
............................... 13
1.11 Bemerkungen zur Logik und Beweistechnik.................. 14
Aufgaben..................................................... 15
§ 2. Natürliche Zahlen und vollständige Induktion ...................... 17
2.1 Definition der natürlichen Zahlen........................... 18
2.2 Beweis durch vollständige Induktion........................ 18
2.3 Einige Eigenschaften von N................................ 19
2.4 Die archimedische Eigenschaft der reellen Zahlen............. 20
2.5 Ganze und rationale Zahlen................................ 21
2.6 Endliche Mengen ........................................ 21
2.7 Folge, Kartesisches Produkt und n-Tupel..................... 22
2.8 Rekursive Definition...................................... 22
2.9 Abzählbare Mengen...................................... 23
2.10 Nichtabzählbare Mengen.................................. 24
2.11 Definition des Summen- und des Produktzeichens............. 25
2.12 Einige einfache Tatsachen................................. 27
2.13 Bernoullische Ungleichung................................ 28
2.14 Die Binomialformel ...................................... 28
2.15 Zahlendarstellung in Positionssystemen...................... 31
2.16 Kombinatorische Aufgaben................................ 32
2.17 Die Fibonacci-Zahlen..................................... 33
Aufgaben..................................................... 34
§ 3. Polynome und Wurzeln......................................... 37
3.1 Das Rechnen mit Funktionen. Funktionenraum und Funktionen¬
algebra .................,............................... 39
3.2 Polynome............................................... 39
3.3 Das Interpolationspolynom................................ 42
3.4 Monotone Funktionen..................................... 43
3.5 Die Lipschitz-Bedingung.................................. 44
3.6 Die
η
-te
Wurzel. Definition und Satz........................ 46
3.7 Arithmetisches und geometrisches Mittel..................... 47
3.8 Potenzen mit rationalen Exponenten......................... 48
Aufgaben..................................................... 50
Grenzwert und Stetigkeit
§ 4. Zahlenfolgen.................................................. 52
4.1 Reelle Zahlenfolgen...................................... 58
4.2 Nullfolgen.............................................. 58
4.3 Konvergente Folgen ...................................... 60
4.4 Rechenregeln............................................ 62
4.5 Teilfolge, Umordnung einer Folge .......................... 64
4.6 Divergente Folgen........................................ 64
4.7 Konvergenzkriterien für monotone Folgen.................... 65
4.8 Die Exponentialfunktion. Definition und Satz................. 66
4.9 Der Logarithmus......................................... 67
4.10 Iterationsverfahren. Berechnung von Wurzeln................. 69
4.11 Das arithmetisch-geometrische Mittel von Gauß............... 70
4.12 Häufungswerte von Folgen ................................ 71
4.13 Satz von
Bolzano-
Weierstraß für Folgen..................... 72
4.14 Konvergenzkriterium von Cauchy........................... 72
4.15 Oberer und unterer Limes beschränkter Folgen................ 73
4.16 Folgen in
E
............................................. 74
Aufgaben..................................................... 76
§ 5. Unendliche Reihen............................................. 78
5.1 Definitionen und einfache Eigenschaften..................... 86
5.2 Satz.................................................... 88
5.3 Satz.................................................... 89
5.4 Einige Reihensummen.................................... 89
5.5 Reihen mit positiven Gliedern.............................. 92
5.6 Alternierende Reihen ..................................... 93
5.7 Das Konvergenzkriterium von Cauchy....................... 94
5.8 Absolute Konvergenz..................................... 94
5.9 Kriterium für absolute Konvergenz.......................... 95
5.10 Verdichtungssatz von Cauchy .............................. 97
5.11 Umordnung von unendlichen Reihen........................ 98
5.12 Reihen mit beliebigen Indexmengen......................... 99
5.13 Großer Umordnungssatz...................................100
5.14 Doppelreihen............................................101
5.15 Multiplikation von Reihen.................................102
5.16 Bedingte und unbedingte Konvergenz .......................104
5.17 Riemannscher Umordnungssatz ............................105
5.18 Dezimalbrüche und g-adische Entwicklung...................105
Aufgaben.....................................................107
§ 6. Grenzwerte von Funktionen und Stetigkeit.........................109
6.1 Grenzwert und Stetigkeit..................................114
6.2 Einseitiger Limes, einseitige Stetigkeit.......................116
6.3 Folgenkriterium..........................................117
6.4 Das Konvergenzkriterium von Cauchy.......................118
6.5 Rechenregeln............................................119
6.6 Satz....................................................119
6.7 Zusammengesetzte Funktionen (Komposition)................120
6.8 Stetigkeit auf einem kompakten Intervall. Maximum und Mini¬
mum einer Funktion......................................120
6.9 Gleichmäßige Stetigkeit...................................121
6.10 Zwischenwertsatz........................................123
6.11 Satz über die Umkehrfunktion..............................124
6.12 Limes für
χ
-+ ±oo......................................125
6.13 Uneigentliche Grenzwerte.................................126
6.14 Konvergenzkriterium für monotone Funktionen...............127
6.15 Sprungstelle und Schwankung..............................127
6.16 Stetigkeitsmodul.........................................128
6.17 Stetige Fortsetzung.......................................128
Aufgaben.....................................................129
§ 7. Potenzreihen. Elementar-transzendente Funktionen..................131
7.1 Gleichmäßige Konvergenz.................................139
7.2 Cauchy-Kriterium für gleichmäßige Konvergenz..............140
7.3 Satz....................................................140
7.4 Gleichmäßige Konvergenz von Reihen.......................141
7.5 Das Weierstraßsche
Maj
orantenkriterium für gleichmäßige Kon¬
vergenz .................................................142
7.6 Potenzreihen ............................................142
7.7 Satz....................................................144
7.8 Multiplikation von Potenzreihen............................144
7.9 Die Exponentialreihe .....................................145
7.10 Identitätssatz für Potenzreihen..............................147
7.11 Die logarithmische Reihe..................................147
7.12 Der Grenzwertsatz von Abel...............................149
7.13 Einsetzen von Potenzreihen................................150
7.14 Division von Potenzreihen.................................151
7.15 Berechnung von Potenzreihen, Koeffizientenvergleich..........151
7.16
Sinus und Cosinus
........................................152
7.17 Die Arcusfunktionen (zyklometrische Funktionen).............156
7.18 Die Hyperbelfunktionen...................................158
7.19 Die
Areafunktionen.......................................
159
7.20 Potenzreihen für Tangens und
Cotangens
.....................160
7.21 Nochmals Potenzsummen .................................162
Aufgaben.....................................................163
§ 8. Komplexe Zahlen und Funktionen................................166
8.1 Der Körper
С
der komplexen Zahlen........................166
8.2 Polarkoordinaten.........................................168
8.3 Wurzeln und Einheitswurzeln..............................169
8.4 Polynome...............................................170
8.5 Partialbruchzerlegung rationaler Funktionen..................171
Komplexe
Analysis
.............................................174
8.6 Umgebungen............................................174
8.7 Konvergenz von Folgen und Reihen.........................174
8.8 Grenzwert und Stetigkeit von Funktionen....................176
8.9 Potenzreihen ............................................176
8.10 Entwicklung um einen neuen Mittelpunkt....................177
8.11 Die Exponentialfunktion im Komplexen .....................178
8.12 Die Partialbruchzerlegung des
Cotangens
....................181
8.13 Die Riemannsche Zetafunktion.............................183
Aufgaben.....................................................184
C. Differential- und Integralrechnung
§ 9. Das Riemannsche Integral.......................................187
9.1 Zerlegung, Ober- und Untersumme..........................197
9.2 Hilfssatz................................................198
9.3 Oberes und unteres Integral. Das Riemann-Integral............199
9.4 Satz....................................................199
9.5 Integrabilitätskriterium von Riemann........................201
9.6 Satz über Integrierbarkeit..................................201
9.7 Die Riemannsche Definition des Integrals....................202
9.8 Komplexwertige Funktionen...............................205
9.9 Satz über die Linearität des Integrals ........................205
9.10 Einige Eigenschaften des Integrals..........................206
9.11 Satz....................................................207
9.12 Dreiecksungleichung für Integrale ..........................207
9.13 Mittelwertsatz der Integralrechnung.........................208
9.14 Satz über gliedweise Integration............................209
9.15 Integrale über Teilintervalle................................211
9.16 Das Integral als Funktion der oberen Grenze..................212
9.17 Die Bestimmung von Summen durch Integrale................213
9.18 Die Berechnung von
π
....................................215
Aufgaben.....................................................218
§ 10. Differentiation ................................................221
10.1 Differenzenquotient und Ableitung..........................240
10.2 Einseitige Differenzierbarkeit..............................242
10.3 Einfache Tatsachen.......................................243
10.4 Das Differential..........................................245
10.5 Rechenregeln für die Ableitung.............................246
10.6 Die Kettenregel..........................................247
10.7 Ableitung der Umkehrfunktion.............................248
10.8 Zusammenfassung........................................249
10.9 Höhere Ableitungen, die Klassen Ck ........................251
10.10 Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung..................254
10.11 Regel von de l Hospital...................................256
10.12 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung..........259
10.13 Satz über gliedweise Differentiation.........................261
10.14 Taylor-Reihe und Taylor-Polynom ..........................262
10.15 Satz von Taylor..........................................263
10.16 Die Taylorsche Entwicklung von Funktionen .................265
10.17 Satz von S. Bernstein (1914)...............................267
10.18 Das Gegenbeispiel von Cauchy.............................267
Aufgaben.....................................................268
§11. Anwendungen.................................................273
11.1 Die Stammfunktion oder das unbestimmte Integral ............273
11.2 Die Technik des Integrierens...............................274
11.3 Partielle Integration.......................................275
11.4 Die Substitutionsregel.....................................277
11.5 Die Integration der rationalen Funktionen....................278
11.6 Satz....................................................280
11.7 Vorläufiges zum Inhaltsproblem ............................282
11.8 Die Fläche ebener Bereiche als Integral......................283
11.9 Darstellung in Polarkoordinaten............................284
11.10 Das Volumen von Rotationskörpern.........................286
11.11 Schwerpunkte...........................................290
11.12 Trägheitsmomente........................................293
11.13 Mechanische Arbeit ......................................295
11.14 Numerische Integration ...................................296
11.15 Hinreichende Kriterien für
Maxima
und
Minima
..............300
11.16 Kriterien für Wendepunkte.................................300
11.17 Konvexe und konkave Funktionen...........................301
11.18 Die Jensensche Ungleichung für konvexe Funktionen..........301
11.19 Mehr über konvexe Funktionen.............................303
11.20 Kurvendiskussion........................................304
11.21 Mittelwerte mit einer beliebigen Funktion....................307
11.22 Satz über die Mittel r-ter Ordnung..........................308
11.23 Höldersche Ungleichung..................................309
11.24 Minkowskische Ungleichung...............................310
11.25 Eine Ungleichung von Redheffer ...........................311
11.26 Kontrahierende Abbildungen. Das Kontraktionsprinzip.........312
11.27 Das Newton-Verfahren zur Nullstellenbestimmung............317
Aufgaben.....................................................320
§ 12. Ergänzungen..................................................323
Uneigentliche Integrale.........................................323
12.1 Unbeschränkter Integrationsbereich.........................323
12.2 Rechenregeln............................................324
12.3 Das Konvergenzkriterium von Cauchy.......................325
12.4 Absolute Konvergenz, Majorantenkriterium...................325
12.5 Unendliche Reihen und uneigentliche Integrale ...............326
12.6 Grenzübergang unter dem Integralzeichen....................327
12.7 Unbeschränkter
Integrand
.................................328
12.8 Die Gammafunktion......................................330
Einfache Differentialgleichungen.................................333
12.9 Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung...............334
12.10 Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung .............336
12.11 Der harmonische Oszillator................................339
12.12 Reibungskräfte...........................................341
12.13 Gedämpfte Schwingung...................................342
12.14 Resonanz...............................................344
Die Eulersche Summenformel ...................................346
12.15 Bernoullische Polynome...................................346
12.16 Eulersche Summenformel .................................347
12.17 Die Eulersche Konstante ..................................349
12.18 Produktdarstellung des Sinus...............................350
12.19 Wallissches Produkt......................................351
12.20 Die Stirlingsche Formel...................................351
Verallgemeinerung des Mittelwertsatzes. Dini-Derivierte.............353
12.21 Satz....................................................355
12.22 Limes
superior
und Limes inferior..........................356
12.23 Die vier Dini-Derivierten..................................357
12.24 Verallgemeinerter Mittelwertsatz der Differentialrechnung......358
12.25 Satz....................................................359
12.26 Eine stetige, nirgends differenzierbare Funktion...............359
12.27 Das Lemma von Gronwall.................................361
12.28 Ungleichungen vom Faltungstyp............................364
12.29 Nichtlineare Integral-Gleichungen ..........................366
Lösungen und Lösungshinweise zu ausgewählten Aufgaben...............374
Literatur ..........................................................383
Bezeichnungen und Grundformeln ....................................386
Namen- und Sachverzeichnis.........................................387
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Inhaltsverzeichnis
Ausleihbestand Seybothstrasse
| Signatur: | F 03 SK 400 W234(7)-1 Lageplan |
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| Exemplar 1 | uneingeschränkt entleihbar Am Standort |
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