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| adam_text | Titel: Mathematische Methoden in der Physik
Autor: Lang, Christian B
Jahr: 2016
Inhaltsverzeichnis
1 Unendliche Reihen 1
1.1 Folgen und Reihen 1
1.1.1 Achill und die Schildkröte 1
1.1.2 Rechnen mit Grenzwerten 7
1.1.3 Anwendungen von unendlichen Reihen 13
1.2 Konvergenz und Divergenz 14
1.2.1 Konvergenztests für Reihen 17
1.3 Potenzreihen 23
1.3.1 Einfache Wege zur Potenzreihe 28
1.3.2 Konvergenz und Genauigkeit 31
1.3.3 Anwendungen 35
1.4 Was war da noch? 43
1.4.1 Funktionenreihen 43
1.4.2 Divergente Reihen 44
1.5 Aufgaben und Lösungen 45
1.5.1 Aufgaben 45
1.5.2 Lösungen 48
Literatur 49
2 Komplexe Zahlen 51
2.1 Komplexe Zahlen und die komplexe Ebene 51
2.2 Komplexe Reihen 59
2.3 Funktionen komplexer Variablen 61
2.3.1 Exponentialfunktion und trigonometrische Funktionen 62
2.3.2 Wurzeln 66
2.3.3 Andere Umkehrfunktionen 68
2.4 Riemannsche Blätter 70
2.4.1 Schnittstruktur einiger Funktionen 74
2.5 Anwendungen 77
2.6 Aufgaben und Lösungen 81
2.6.1 Aufgaben 81
IX
X Inhaltsverzeichnis
2.6.2 Lösungen 84
Literatur 85
3 Vektoren und Matrizen 87
3.1 Lineare Gleichungssysteme 87
3.1.1 Determinanten 88
3.1.2 Lösung eines linearen Gleichungssystems 93
3.2 Matrizen 97
3.2.1 Lineare Algebra der Matrizen 97
3.2.2 Die inverse Matrix 102
3.2.3 Lösung durch Matrixinversion 106
3.2.4 Weiteres Zubehör 106
3.2.5 Lineare Abhängigkeit 108
3.2.6 Rang einer Matrix 114
3.3 Vektoren und ihre Algebra 118
3.3.1 Vektoren 118
3.3.2 Vektoralgebra 121
3.3.3 Analytische Geometrie 130
3.4 Das Eigenwertproblem 135
3.4.1 Quadratische Formen 142
3.4.2 Funktionen von Matrizen 146
3.5 Aufgaben und Lösungen 149
3.5.1 Aufgaben 149
3.5.2 Lösungen 151
Literatur 152
4 Differenzialrechnung 155
4.1 Die lineare Näherung 155
4.2 Funktionen mehrerer Variablen 164
4.3 Verschiedene Methoden der Differenziation 172
4.3.1 Kettenregel und Produktregel 173
4.3.2 Implizite Differenziation 176
4.4 Extremwertaufgaben 179
4.5 Nebenbedingungen 185
4.5.1 Elimination 186
4.5.2 Lagrangesche Multiplikatoren 187
4.6 Randpunkte 194
4.7 Aufgaben und Lösungen 203
4.7.1 Aufgaben 203
4.7.2 Lösungen 207
Literatur 210
Inhaltsverzeichnis XI
5 Integralrechnung 211
5.1 Das Integral 211
5.1.1 Die Stammfunktion 211
5.1.2 Lebesgue-Integral 213
5.2 Integrationstechnik 221
5.2.1 Einfache Regeln 222
5.2.2 Transformation der Variablen 223
5.2.3 Partielle Integration 227
5.2.4 Systematische Verfahren 233
5.2.5 Integration entlang einer Kurve 235
5.2.6 Uneigentliche Integrale 237
5.3 Differenziation von Integralen 238
5.4 Mehrdimensionale Integrale 242
5.4.1 Variablentransformation 252
5.5 Aufgaben und Lösungen 260
5.5.1 Aufgaben 260
5.5.2 Lösungen 263
Literatur 265
6 Gewöhnliche Differenzialgleichungen 267
6.1 Allgemeines 267
6.1.1 Einleitung 267
6.1.2 Klassifikation 271
6.2 Gewöhnliche Differenzialgleichungen 1. Ordnung 272
6.2.1 Existenz und Eindeutigkeit 272
6.2.2 Lineare Differenzialgleichungen 1. Ordnung 274
6.2.3 Nichtlineare Differenzialgleichungen 1. Ordnung 280
6.2.4 Numerische Integration 290
6.3 Gewöhnliche Differenzialgleichungen höherer Ordnung 294
6.3.1 Allgemeines 294
6.3.2 Konstante Koeffizienten 295
6.3.3 Inhomogene lineare Differenzialgleichungen mit konstanten
Koeffizienten 302
6.3.4 Nichtkonstante Koeffizienten 309
6.4 Systeme von Differenzialgleichungen 314
6.4.1 Formulierung und linearer Fall 314
6.4.2 Stabilitätsanalyse und dynamische Systeme 320
6.5 Zum Abschluss 323
6.6 Aufgaben und Lösungen 324
6.6.1 Aufgaben 324
6.6.2 Lösungen 327
Literatur 330
XII Inhaltsverzeichnis
7 Grundlagen der Vektoranalysis 333
7.1 Differenziation von Vektoren 333
7.2 Bogenlänge, Krümmung und Torsion 337
7.3 Linien- und Oberflächenintegrale 344
7.4 Skalare Felder: Niveauflächen und Gradient 355
7.5 Divergenz und Rotation von Vektorfeldern 361
7.5.1 Bedeutung der Divergenz 362
7.5.2 Bedeutung der Rotation 364
7.6 Aufgaben und Lösungen 369
7.6.1 Aufgaben 369
7.6.2 Lösungen 371
Literatur 372
8 Basissysteme krummliniger Koordinaten 373
8.1 Gebräuchliche Koordinatensysteme 373
8.2 Bestimmung von Vektorkomponenten 377
8.3 Bogen-, Flächen- und Volumenelement 384
8.4 Aufgaben und Lösungen ^87
8.4.1 Aufgaben 387
8.4.2 Lösungen 388
Literatur 389
9 Integralsätze 391
9.1 Der Gaußsche Integralsatz 391
9.2 Der Greensche Satz in der Ebene 397
9.3 Der Integralsatz von Stokes 401
9.4 Aufgaben und Lösungen 407
9.4.1 Aufgaben 407
9.4.2 Lösungen 409
Literatur 410
10 Elemente der Tensorrechnung 411
10.1 Definition eines Tensors 411
10.2 Rechenregel für Tensoren 415
10.3 Beispiele für Tensoren 416
10.3.1 Der e-Tensor 416
10.3.2 Der Trägheitstensor 419
10.4 Differenzialoperationen und Tensoren 420
10.5 Drehung um eine Achse 422
10.6 Ko- und kontravariante Darstellung 426
10.7 Wechsel der Basis 432
10.8 Aufgaben und Lösungen 437
Inhaltsverzeichnis XIII
10.8.1 Aufgaben 437
10.8.2 Lösungen 439
Literatur 440
11 Ein wenig Differenzialformen 441
11.1 Äußere Formen 441
11.2 Äußere Ableitung 449
11.3 Integralsätze 455
11.4 Aufgaben und Lösungen 460
11.4.1 Aufgaben 460
11.4.2 Lösungen 461
Literatur 461
12 Funktionenräume 463
12.1 Vektorräume 463
12.1.1 Rückblick: Vektoren im R3 463
12.1.2 Lineare Räume 465
12.2 Metrik, Norm, Skalarprodukt 468
12.2.1 Metrik 468
12.2.2 Norm 469
12.2.3 Skalarprodukt 472
12.3 Basis eines Vektorraums 476
12.3.1 Orthonormale Basis 476
12.3.2 Komponentendarstellung 479
12.4 Aufgaben und Lösungen 484
12.4.1 Aufgaben 484
12.4.2 Lösungen 487
Literatur 488
13 Fourierreihe 489
13.1 Motivation und Definition 489
13.2 Konvergenzkriterien 492
13.3 Tipps und Beispiele 494
13.4 Komplexe Form der Fourierreihe 499
13.5 Fourier-Kosinus-und Fourier-Sinus-Reihe 503
13.6 Aufgaben und Lösungen 510
13.6.1 Aufgaben 510
13.6.2 Lösungen 511
Literatur 512
14 Integraltransformationen 513
14.1 Vorwort 513
14.2 Die Laplace-Transformation 514
XIV Inhaltsverzeichnis
14.3 Die Fouriertransformation 520
14.4 Faltung 525
14.5 Aufgaben und Lösungen 529
14.5.1 Aufgaben 529
14.5.2 Lösungen 530
Literatur 531
15 Funktionale und Variationsrechnung 533
15.1 Funktionale 533
15.2 Variationsrechnung 536
15.3 Distributionen und die Diracsche Deltafunktion 546
15.4 Aufgaben und Lösungen 553
15.4.1 Aufgaben 553
15.4.2 Lösungen 554
Literatur 554
16 Operatoren und Eigenwerte 555
16.1 Einleitung 555
16.2 Das Eigenwertproblem in der linearen Algebra 556
16.3 Lineare Operatoren in Vektorräumen 564
16.3.1 Eigenschaften 564
16.3.2 Darstellungen 567
16.3.3 Das Eigenwertproblem für Operatoren 578
16.4 Die Differenzialgleichung als Eigenwertproblem 579
16.4.1 Schwingungsgleichung 580
16.4.2 Legendresche Differenzialgleichung 581
16.4.3 Sturm-Liouville-Problem 582
16.5 Aufgaben und Lösungen 585
16.5.1 Aufgaben 585
16.5.2 Lösungen 586
Literatur 587
17 Spezielle Differenzialgleichungen 589
17.1 Die Legendresche Differenzialgleichung 589
17.1.1 Kugelflächenfunktionen 597
17.2 Die Besseische Differenzialgleichung 600
17.3 Die Hermitesche Differenzialgleichung 607
17.4 Die Laguerresche Differenzialgleichung 608
17.5 Aufgaben und Lösungen 609
17.5.1 Aufgaben 609
17.5.2 Lösungen 611
Literatur 612
Inhaltsverzeichnis XV
18 Partielle Differenzialgleichungen 613
18.1 Übersicht 613
18.1.1 Elliptischer Typ 613
18.1.2 Parabolischer Typ 615
18.1.3 Hyperbolischer Typ 616
18.2 Lösungsmethoden: Numerische Verfahren 617
18.3 Analytische „exakte Verfahren 619
18.3.1 Integraldarstellung 620
18.3.2 Integraltransformation 620
18.3.3 Greensche Funktion 622
18.3.4 Separation der Variablen 629
18.4 Aufgaben und Lösungen 642
18.4.1 Aufgaben 642
18.4.2 Lösungen 644
Literatur 645
19 Funktionentheorie 647
19.1 Analytische Funktionen 647
19.1.1 Stetigkeit 647
19.1.2 Differenzierbarkeit 649
19.1.3 Potenzreihen 658
19.2 Komplexe Integration 660
19.2.1 Linienintegral 660
19.2.2 Integralsatz von Cauchy 664
19.2.3 Integralformel von Cauchy 669
19.2.4 Laurentreihe 672
19.2.5 Residuensatz 675
19.2.6 Schnitte 679
19.3 Anwendungen 682
19.3.1 Integrale 682
19.3.2 Fouriertransformation 683
19.3.3 Dispersionsrelationen 685
19.3.4 Hauptwertintegrale 687
19.3.5 Konforme Abbildungen 690
19.4 Aufgaben und Lösungen 695
19.4.1 Aufgaben 695
19.4.2 Lösungen 697
Literatur 699
20 Gruppen 701
20.1 Symmetrien und Gruppen 701
20.2 Zweierlei Klassen 706
XVI Inhaltsverzeichnis
20.2.1 Konjugationsklassen 706
20.2.2 Nebenklassen 709
20.2.3 Einige Untergruppen 710
20.3 Einige wichtige Gruppen 713
20.4 Darstellung 719
20.5 Kontinuierliche Gruppen 726
20.5.1 Darstellung und Parameter 726
20.5.2 Generatoren und Lie-Algebra 732
20.5.3 Anwendungen in der Physik 742
20.6 Aufgaben und Lösungen 743
20.6.1 Aufgaben 743
20.6.2 Lösungen 745
Literatur 746
21 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik 747
21.1 Zufall und Wahrscheinlichkeit 747
21.1.1 Wahrscheinlichkeit 747
21.1.2 Zufalls variablen und Verteilungsfunktionen 754
21.1.3 Erwartungswerte und Momente 757
21.2 Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen 762
21.2.1 Binomialverteilung 762
21.2.2 Poisson-Verteilung 764
21.2.3 Gleichverteilung 766
21.2.4 Normal Verteilung 767
21.2.5 Exponentialverteilung 769
21.2.6 Histogramme 769
21.3 Funktionen von Zufallsvariablen 772
21.3.1 Fehlerfortpflanzung 778
21.4 Mehrere Zufallsvariablen 779
21.4.1 Verteilungsfunktion und Verteilungsdichte 779
21.4.2 Funktionen von mehreren Zufallsvariablen 783
21.4.3 Zentraler Grenzwertsatz 786
21.4.4 Autokorrelation 788
21.5 Analyse von Daten und Fehlern 788
21.5.1 Schätzung der Parameter einer Verteilung 789
21.5.2 Andere Verfahren 793
21.5.3 Fit, mach mit! 795
21.5.4 Hypothesen test 803
21.6 Aufgaben und Lösungen 807
21.6.1 Aufgaben 807
21.6.2 Lösungen 809
Literatur 811
Inhaltsverzeichnis XVII
A Abkürzungen und Anmerkungen 813
B Zoologie elementarer Funktionen 823
B.l Polynome und rationale Funktionen 826
B.2 Exponentialfunktion und Logarithmus 828
B.3 Trigonometrische Funktionen 832
C Programmbeispiele 839
Literatur 840
Sachverzeichnis 841
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