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Inhaltsverzeichnis 1 2 Ziele des Geometrieunterrichts. 1.1 Lernziele, Kompetenzen und Leitlinien. 1.1.1 Drei Grunderfahrungen der mathematischen Bildung. 1.2 Allgemeine Ziele des Geometrieunterrichts. 1.2.1 Geometrie und die Erschließung der Welt. 1.2.2 Grundlagen wissenschaftlichen Denkens und Arbeitens. 1.2.3 Geometrie und Problemlosen. 1.3 Inhaltsspezifische Ziele des Geometrieunterrichts . 1.3.1 Verständnis geometrischer Begriffe und ihrer Eigenschaften. . 1.3.2 Lernen geometrischer Denk-und Arbeitsweisen. 1.3.3 Erkennen der Beziehung zwischen Geometrie und Wirklichkeit . 1 1 3 4 5 8 9 11 11 13 14 1.4 Zur Unterrichtskultur. 1.4.1 Instruktion und Konstruktion. 15 16 1.4.2 1.4.3 1.4.4 1.4.5 Produkt und Prozess. Vernetzung und Kumulatives Lernen. Handlungsorientierung und Operatives Prinzip. Einsatz neuer Technologien. 17 17 18 19 Beweisen und
Argumentieren. 2.1 Beweisen in der Geometrie. 2.1.1 Was ist ein Beweis? . 2.1.2 Funktionen des Beweisens. 2.1.3 Beweis und Beweisfindung. 2.1.4 Beweistypen. 2.2 Beweisen und Argumentieren im Unterricht. 2.2.1 Kompetenzen von Schülerinnen und Schülern. 2.2.2 Mathematisch argumentieren. 2.2.3 Inhaltlich-anschauliche Beweise. 21 22 22 23 25 29 31 31 34 39 XV
XVI 3 4 5 Inhaltsverzeichnis Konstruieren. 3.1 Konstruktive Zugänge zur Geometrie. 3.1.1 Spannen von Seilen und Bändern. 3.1.2 Falten. 3.1.3 Zeichnen. 3.2 Die Werkzeuge. 3.2.1 Die Klassiker: Zirkel und Lineal. 3.2.2 Die Praktischen: Parallelzeichner und Geodreieck. 3.2.3 Die Modernen: Computer. 3.3 Konstruieren als mathematische Tätigkeit. 3.3.1 Bedeutung von Zirket-und-Lineal-Konstmkikmen. 3.3.2 Was versteht man unter Konstruieren?. 3.3.3 Konstruktionsbeschreibungen. 3.4 Vom Einfachen zum Komplexen. 3.4.1 Grund-und Standardkonstruktionen. 3.4.2 Das Modulkonzept. 3.5 Didaktische Bedeutung von
Konstruktionsaufgaben. 3.5.1 Konstruieren als Problemlosen. 3.5.2 Warum Zirkel-und-Lineal-Konstruktionen?. 3.5.3 Konstruktionen mit dem Computer. 43 43 43 45 46 47 47 48 49 50 50 51 53 55 55 56 58 58 60 62 Problemlosen. 4.1 Problemlosen im Geometrieunterriehl. 4.1.1 Was ist ein Problem?. 4.1.2 Schritte im Problemlöseprozess. 4.1.3 Ziele des Problemlösens. 4.2 Problemlosen lehren und lernen . 4.2.1 Allgemeine heuristische Strategien. 4.2.2 Inhaltsspezifische heuristische Strategien. 4.2.3 Hilfen im Lösungsprozess. 67 68 68 70 72 76 76 80 82 Begriffslernen und Begriffslehren . 5.1 Zum Prozess der Begriffsbildung. 5.1.1 Mentale Modelle. 5.1.2 Phänomene als
Ausgangspunkte. 5.1.3 Arten des Begriffserwerbs. 5.2 Lernen geometrischer Begriffe. 5.2.1 Aufbau angemessener Vorstellungen. 5.2.2 Erwerb von Kenntnissen. 5.2.3 Aneignung von Fähigkeiten. 85 85 86 87 88 91 91 94 95 Inhaltsverzeichnis 5.3 5.4 Das Definieren geometrischer Begriffe. 97 5.3.1 Logische Aspekte von Definitionen. 97 5.3.2 Definitionen im Geometrieunterricht. 98 5.3.3 Genetische und charakterisierende Definitionen. 99 Strategien des Begriffslehrens. 100 5.4.1 Kurzfristiges Lehren geometrischer Begriffe.100 5.4.2 Mittelfristiges Leimen geometrischer Begriffe . 102 5.4.3 Langfristiges Lehren geometrischer Begriffe.104 6 Ebene Figuren und Körper. .107 6.1 Lehren und Lernen von ebenen Figuren und Körpern.108 6.1.1 Interne und externe
Bezüge. 108 6.1.2 Bedeutung operativer Begriffsbildungen.109 6.2 Dreiecke.ИЗ 6.2.1 Dreiecke als Grundbausteine.113 6.2.2 Dreiecksgrundformen.116 6.3 Vierecke.120 6.3.1 Begriffsumfang der Vierecksbegriffe. 121 6.3.2 Viereckseigenschaften und Haus der Vierecke. 122 6.4 Körper. 129 6.4.1 Lernen der Körpergrundformen. 130 6.4.2 Körpermodelle und-netze.133 6.5 Räumliches Vorstellunsgvermögen und Kopfgeometrie.137 6.5.1 Räumliches Vörstellungsvermögen.137 6.5.2 Kopfgeometrie. 142 7 Flächeninhalt und Volumen . 149 7.1 Messen als Leitidee für Flächeninhalts-und Volumenbestimmungen . . . 150 7.1.1
Ziele. 150 7.1.2 Flächen- und Volumenmessung im Laufe der Schuljahre. 151 7.1.3 Aspekte des Messens.151 7.1.4 Kontexte des Messens. 152 7.2 Flächcninhaltsbegriff und Volumenbegriff.157 7.2.1 Flächeninhalte und Volumina als Größenbereiche.158 7.2.2 Flächeninhaltsbegriff.159 7.2.3 Auslegen bzw. Ausfüllen.163 7.2.4 Zerlegen und Ergänzen . 164 7.2.5 Flächen- und Körperverwandlungen. 166 7.2.6 Approximieren von F!ächen- und Rauminhalten.169 7.2.7 Zusammenhänge: Flächeninhalts- und Volumenformeln. 172 7.3 Funktionale Zusammenhänge, Flächeninhalt und Volumen. 172 7.4 Ausblicke. 177
XVIII 8 Inhaltsverzeichnis Symmetrie und Kongruenz. 179 8.1 Mathematische Grundlagen von Symmetrie und Kongruenz.179 8.1.1 Symmetrie.180 8.1.2 Kongruenz. !82 8.2 Symmetrie als Begriff. 182 8.2.1 Symmetrie als Umweltphänomen.182 8.2.2 Entwicklung des Symmetriebegriffs .184 8.3 Der Symmetriebegril'f zu Beginn der Sekundarstufe I.187 8.3.1 Symmetrische Figuren. 187 8.3.2 Symmetrie-TKongruenzabbildungen.189 8.3.3 Anwendungen der Symmetrie.190 8.4 Kongruenz.193 8.4.1 Bedeutung von Abbildungen.194 8.4.2 Die beiden Zugänge zum Kongruenzbegriff. 194 8.4.3
Kongruenzsätze. 195 8.4.4 Kongruenzbeweise versus Abbildungsbeweise. 197 8.5 Symmetrie und Kongruenz im Raum.199 8.5.1 Kongruente Körper. 199 8.5.2 Symmetrische Körper. 200 9 Ähnlichkeit. 203 9.1 Ähnlichkeit in Figuren.204 9.1.1 Phänomen „Ähnlichkeit“. 204 9.1.2 Die Strahlensätze.207 9.1.3 Die Umkehrung der Strahlensätze. 210 9.2 Ähnlichkeitsabbildungen.211 9.2.1 Geometrische Abbildungen. 211 9.2.2 Die zentrische Streckung. 213 9.2.3 Die Ähnlichkeitssätze. 214 9.3 Anwendungen der Ähnlichkeitslehre
. 216 9.3.1 Der Satz des Pythagoras. 216 9.3.2 Die Seitenhalbierenden eines Dreiecks. 218 9.3.3 Der Goldene Schnitt.219 9.3.4 Die harmonische Teilung.222 10 Trigonometrie. 227 10.1 Bedeutung der Trigonometrie in der Sekundarstufe I.228 10.1.1 Bezüge zu früheren Inhalten des Mathematikunterrichts.228 10.1.2 Algebraisierung: Von Konstruktionen zu Berechnungen.229 10.1.3 Mit Dreiecken Konstruktions-und Vermessungsprobleme lösen . 231 10.2 Einstiege in die Trigonometrie.232 10.2.1 Vergleich zweier Einstiege. 232 10.2.2 Sinus, Kosinus und Tangens amrechtwinkligen Dreieck.233 Inhaltsverzeichnis XIX 10.3 Eigenschaften und Anwendungen von Sinus, Kosinus und Tangens . 239 10.3.1 Näherungswerte bestimmen und auswerten. 239 10.3.2 Exakte Bestimmung einiger Funktionswerte . 240 10.3.3 Zusammenhänge zwischen Sinus, Kosinus und
Tangens.241 10.3.4 Lösen von Übungs- und Anwendungsaufgaben.241 10.3.5 Berechnungen in beliebigen Dreiecken. 243 10.3.6 Anwendungen der Trigonometrie in der Raumgeometrie.245 10.4 Trigonometrische Funktionen. 247 10.4.1 Sinus, Kosinus und Tangens für beliebige Winkelgrößen.247 10.4.2 Graphen der trigonometrischen Funktionen. 250 10.4.3 Einige Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen.251 10.5 Ausblicke. 252 11 Geometrie und Geometrieunterricht. 255 11.1 Geometrie als „Erdmessung“.256 11.1.1 Geometrie als praktische Lebenshilfe. 256 11.1.2 Geometrie und die Darstellung unserer Umwelt. 256 H.2 Geometrie und die Macht des Denkens. 257 11.2.1 Thaies von Milet.257 11.2.2 Pythagoras von Samos.257 11.2.3
Platon. 258 11.3 Die Elemente des Euklid.259 11.3.1 Definitionen.259 11.3.2 Postulate.260 11.3.3 Axiome.260 11.4 Hilberts Grundlagen der Geometrie. 261 11.4.1 Zum Wesen mathematischer Objekte.261 11.4.2 Axiome.262 11.4.3 Euklid versus Hilbert. 263 11.5 Der Geometrieunterricht - hin zu Euklid. 263 11.5.1 Praktischer Aspekt.264 11.5.2 Schule des Denkens . 264 11.6 Der Geometrieunterricht — weg von Euklid. 266 11.6.1 Bewegliche Geometrie.266 11.6.2 Abbildungsgeometrie
.267 11.6.3 Kongruenzgeometrie.267 11.6.4 Aktuelle Strömungen.268 Hinweis der Herausgeber .271 Verwendete Abkürzungen in der Literatur. 273 Literatur. 275 Sachverzeichnis. 289 |
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